Étiquette : interaction

Interactions et désaliassage

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Au sein des plans factoriels fractionnaires saturés L2n (plan de 2n-1 facteurs à 2 niveaux : par exemple plan L8 pour 7 facteurs à 2 niveaux) s’il existe des interactions entre facteurs, celles-ci se superposeront lors du dépouillement aux effets des facteurs.

Par exemple pour chacun des p facteurs, (p-1) / 2 interactions d’ordre 1, issues des p-1 autres facteurs se superposent à lui è le calcul de l’effet de chaque facteur a alors toutes les chances d’être faussé par les effets de ces interactions ! De plus, plus les facteurs sont très nombreux, plus le nombre d’interactions potentielles est énorme, par exemple :

Interaction d’

Pour 7 facteurs

Ordre 1

= C27 = 21 interactions

Si nous devions étudier en même temps que les facteurs les interactions des premiers ordres le nombre d’essais serait lui aussi énorme.

Aussi nous choisissons de n’étudier les interactions qu’ultérieurement entre les seuls facteurs jugés très influents. En effet la valeur de l’effet d’une interaction entre 2 facteurs, si elle existe, dépendra des valeurs des effets respectifs des facteurs :

Effet facteurs

Facteur 1 : fort

Facteur 1 : moyen

Facteur 1 : faible

Facteur 2 : fort

Interaction forte

Interaction moyenne

Interaction moyenne

Facteur 2 : moyen

Interaction moyenne

Interaction moyenne

Interaction faible

Facteur 2 : faible

Interaction moyenne

Interaction faible

Interaction faible

Il est peu probable d’avoir des interactions avec un effet important entre des facteurs n’ayant eux-mêmes un effet peu important.

C’est-à-dire que lors des premiers plans nous utiliserons des matrices d’expériences saturées de 2n essais pour 2n-1 facteurs ne laissant aucune place pour l’étude des interactions.

Mais une parade existe pour déterminer l’effet des facteurs sans être pollué par des interactions si seules les interactions d’ordre 1 se manifestent : le désaliassage.

Le désaliassage ne peut être appliqué que si la matrice utilisée est orthogonale. Cela consiste à refaire un 2ème plan ayant le même nombre d’essais en permutant les niveaux 1 et 2 de la précédente matrice.

Ceci donnerait par exemple pour une matrice L8 (7 facteurs à 2 niveaux) :

En analysant simultanément les 8 + 8 =16 essais on obtient :

On remarque que dans la matrice L16 obtenue en agglomérant le 1er et le 2ème plan, les 7 facteurs se retrouvent placés dans des colonnes dans lesquelles on ne retrouve que les seuls facteurs : on peut donc ainsi calculer l’effet pur de chaque facteur. Par contre, réparties dans 7 autres colonnes (hors la 1ère) on cumule l’ensemble des interactions d’ordre 1 : on peut donc ainsi évaluer leur effet global.

Par similitude on peut désaliasser toute matrice L2n.

Calcul des effets des interactions

S’il est nécessaire de calculer les interactions, alors on le fera pour les seuls facteurs ayant les effets les plus importants.

Des matrices spécifiques existent pour l’étude des interactions d’ordre 1. Par exemple la L16 permet l’étude de 5 facteurs et de leurs 10 (C25) interactions d’ordre 1 :

Ainsi dans cet exemple en réalisant 8 puis 8 puis 16 soit 32 essais on est capable de calculer l’effet de 7 facteurs et des 10 principales interactions, au leu de passer par un plan complet de 27 soit 128 facteurs.

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Le plan d’expériences : un outil méconnu

L’outil plan d’expériences est souvent considéré comme la phase ultime d’une démarche (boîte à outils du 6 sigmas) alors que que c’est au contraire un formidable outil de débroussaillage d’un problème.

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Plans de mélange

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Plans de mélange

Les propriétés (Yi) d’un mélange (par exemple pour une peinture : la viscosité, le temps de séchage, …) dépendent de sa composition (de ses k composants).

Le but d’un plan de mélanges est de traduire fidèlement les variations de chaque propriété Yi par une relation Yi = f(xk) en fonction des xk (proportions des k composants).

Les modes classiques de construction de plan de mélanges sont complexes car ils utilisent les plans optimaux (voir cours sur la construction classique d’un plan de mélanges).

Nous vous proposons une méthode beaucoup plus simple qui :

  • ne nécessitera aucun logiciel spécifique compliqué,
  • utilisera des matrices orthogonales et donc permettra de minimiser la dispersion des caractéristiques des mélanges obtenus,
  • permettra de tester également l’influence de facteurs de process.

La construction se fera en 5 étapes :

Étape 1

Les ingénieurs et techniciens déterminent dans un premier temps et a priori les valeurs minimales (Li) et maximales (Ls) souhaitables de concentration pour chaque composant.

De manière classique on doit vérifier la compatibilité des limites de plage de concentration de chaque composant (xi), car en plus des conditions initiales : Lii ≤ xi ≤ Lsi, il est nécessaire de vérifier que :

  • la somme des limites inférieures Σ Lii = L < 1 et si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ 1 – L alors une correction sera nécessaire sur sa limite supérieure Lsi

  • la somme des limites i supérieures Σ Lsi = U > 1 t si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ U – 1 alors une correction sera nécessaire sur sa limite inférieure Lii

    Nous obtenons ainsi des limites initiales de concentration pour chaque composant.

    Étape 2

Choisir un modèle mathématique de représentation pour chaque propriété :

  • Il faut prendre un modèle du 1er degré quand on ne soupçonne aucune interaction de l’effet de la concentration de chaque composant sur chacun des autres composants (rare).
  • Il faut prendre un modèle du 2ème degré quand :
    • on soupçonne la présence d’interactions de tout ou partie des composants sur chacun des autres composants,
    • la validité d’un modèle du 1er degré n’est pas établie.

L’utilisation de modèles du 3ème degré est illusoire (interaction de niveau 2) car les interactions sont souvent plus faibles que la précision de mesure des caractéristiques du produit.

Si k est le nombre de composants on aura C (nombre de coefficients ai du modèle mathématique) :

Modèle du 1er degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk donc on a C = k

Modèle du 2ème degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk + Σ(i > j) aij xi xj donc on a C = k + k (k-1) / 2

Si on se limite à 8 composants on devra donc déterminer le nombre de coefficients conformément au tableau ci dessous :

Nb de composants

Nb coef (1er degré)

Nb coef (2ème degré)

3

3

6

4

4

10

5

5

15

6

6

21

7

7

28

8

8

36

Étape 3

Choisir une matrice orthogonale ayant un nombre d’essais ≥ nombre de coefficients à déterminer :

Pour un modèle quadratique (2ème degré) voici les matrices orthogonales proposées :

Nb de coefficients

Matrice

n facteurs à p niveaux

6

L8 – 8 essais ou L9 – 9 essais

1 à 4 + 2 à 2 ou 3 à 3

10

L16 – 16 essais

4 à 4

15

L16 – 16 essais

5 à 4

21

L25 – 25 essais

6 à 5

28

L32 – 32 essais

7 à 4

36

L36 – 36 essais

8 à 3

Le nombre d’essais supplémentaires (imposés par les matrices) par rapport au strict nécessaire est faible (de 0 à 6).

Étape 4

Construire la matrice à l’aide des facteurs :

  • Ranger les composants en ordre décroissant de plage de concentration (composant A, composant B, …),

  • Le composant A ne fera pas partie de la matrice,

  • Positionner les autres composants dans les colonnes des matrices proposées (il se peut qu’il y ait trop de colonnes qui seront alors inutilisées).

Les composants (B, C, …) varieront donc sur 2 à 5 niveaux selon le choix de la matrice.

Avantages :

Les essais définis par la matrice :

  • ne sont pas uniquement des sommets, des centres d’arêtes ou de faces c’est-à-dire sur la périphérie du domaine comme dans la démarche classique,

  • explorent aussi l’intérieur du domaine.

Si une matrice orthogonale facilite le dépouillement, elle impose en contre partie une combinatoire de niveaux fixes pour chacun des composants.

Il faut ensuite calculer pour chaque essai la concentration résultante de A (issue des niveaux de concentration pour chacun des autres composants) qui peut soit être :

  • inférieure à son niveau mini : il y aura des corrections à réaliser,

  • supérieure à son niveau maxi : il y aura des corrections à réaliser,

  • comprise entre ses niveaux mini et maxi : donc pas de correction.

Étape 5

Réduire les plages possibles des concentrations des n-1 composants (présents dans la matrice) pour que la concentration résultante du composant A soit comprise entre ses niveaux mini et maxi pour chaque essai.

Principe de rectification des niveaux maxi :

  • Prendre la correction < 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau mini,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau maxi de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections < 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau mini de concentration du composant A.

Principe de rectification des niveaux mini :

  • Prendre la correction > 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau maxi,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau mini de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections > 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau maxi de concentration du composant A.

Voir exemple ci-dessous une fois les rectifications faites :

Bilan de la construction du plan de mélange

A l’aide d’une feuille de calcul Excel spécialement conçue, la détermination des niveaux mini et maxi pour chaque composant, est très rapide (< 1 minute) : e classeur Excel de construction proposé est mis à disposition pour toute demande faite par mail.

Le domaine résultant est inscrit dans le domaine initial :

  • les plages de concentration de chaque composant sont inférieures aux plages initiales,

  • les valeurs fixes de chacun des niveaux satisfont au critère d’orthogonalité imposé pour la matrice.

Avantage : Pas de tri des points candidats pour définir les essais avec des algorithmes mathématiques complexes (comme dans la méthode classique).

Inconvénient : Réduction de la plage de concentration pour chaque composant.

Exploitation du plan de mélanges

Après réalisation des mesures des différentes caractéristiques pour chaque essai :

1ère façon (classique) :

  • Résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C),

  • En déduire le polynôme de modélisation pour chaque propriété définie à optimiser,

  • Calculer (maximum ou valeur cible) et en déduire la combinaison ou le domaine de combinaisons de concentration pour tous les composants.

2ème façon (proposée) :

  • Déterminer l’effet de la concentration pour chaque niveau de chaque composant,

  • Rechercher la combinaison des niveaux de concentration des composants optimisant conjointement les propriétés du mélange (sous l’angle de la dispersion en mesurant les propriétés sur plusieurs réalisations d’un même mélange (moyenne et écart type),

  • Il est toujours possible de résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C).

Validation du modèle

Réaliser physiquement le mélange avec la combinaison théoriquement optimisée des niveaux des concentrations des composants.

Vérifier les concordances entre les prévisions données par chacun des modèles pour chacune des propriétés et les valeurs réelles des propriétés mesurées.

Si cette concordance n’existe pas le modèle n’est pas validé.

Passage d’un modèle du 1er degré à un modèle du 2ème degré.

Autres intérêts des matrices orthogonales

Influence du processus de réalisation du mélange :

Les matrices proposées ont souvent une ou plusieurs colonnes disponibles par rapport au nombre de composants testés.

Il est intéressant de les utiliser pour tester l’influence des paramètres de processus de réalisation du mélange (par exemple : ordre d’introduction, temps de mélangeage, température, …) sur les propriétés du mélange, sans augmenter le nombre d’essais.

Plans produits

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(Ce chapitre est un extrait de celui figurant dans le livre « Pratique industrielle des plans d’expériences »)

Les plans produits sont la réponse imaginée par Taguchi à la recherche de la meilleure configuration des facteurs contrôlés pour rendre robuste, le produit ou le procédé, à plusieurs configurations de facteurs bruit (voir philosophie de l’approche Taguchi).

Dans les plans d’expériences décrits jusqu’ici nous avons pris en compte, de façon générale et indéterminée, l’environnement bruit naturel, inhérent au fonctionnement ou à l’utilisation de tous systèmes. Toutefois, Il est parfois utile d’identifier certains facteurs bruits particuliers et de tester leur impact sur le système étudié (voir Philosophie de l’approche Taguchi). Pour cela il est nécessaire de pouvoir les simuler durant l’expérimentation.

Par exemple, un moteur à explosion démarre bien à basse température et à haute altitude mais présente des phénomènes de saturation du mélange gazeux par temps très chaud au niveau de la mer. Les techniciens des études veulent rechercher la combinaison des niveaux de facteurs qui permettra au véhicule de démarrer avec la même facilité dans toutes les conditions. Pour réaliser l’expérimentation, ils placeront le moteur dans un caisson dont la pressurisation pourra être réglée aux deux valeurs extrêmes à tester.

Il est bien clair qu’il ne s’agit pas de déterminer quels sont les bruits les meilleurs, mais de fixer les niveaux des facteurs contrôlés de sorte que le produit ou le processus soit le moins sensible possible à ces bruits.

Pour étudier la sensibilité d’un système à des facteurs bruits bien spécifiés, G. Taguchi propose une configuration particulière des plans d’expériences, les plans produits.

Dans les plans produits on fait figurer à la fois :

– les facteurs contrôlés, c’est-à-dire ceux qui pilotent le système,

– les facteurs bruits, c’est-à-dire ceux que subit le système.

Pour traiter ce problème on utilise deux matrices d’expériences :

– une matrice dite interne, à laquelle sont affectés les facteurs contrôlés,

– une matrice dite externe, à laquelle sont affectés les facteurs bruits.

La matrice externe est croisée à 90° avec la matrice interne. Elle a pour but de répéter chacun des essais du plan principal, pour chaque configuration de bruits qu’elle définit.

Les réponses sont ainsi obtenues pour toutes les combinaisons des 2 matrices.

Dépouillement et exploitation des résultats des plans produits

Rappelons encore qu’un plan produit n’a pas pour objet de déterminer quels sont les bruits les plus favorables, mais de fixer les niveaux des facteurs contrôlés, pour que le produit ou le processus soit le moins sensible à ces bruits.

Il en découle que le dépouillement et l’exploitation des résultats des plans produits s’effectuent exactement comme indiqué dans la figure ci-dessus : la moyenne et le ratio Signal/Bruit relatifs à chacun des essais du plan interne (celui des facteurs contrôlés), sont calculés avec l’ensemble des mesures effectuées.

Les étapes suivantes :

– détermination des niveaux des facteurs pour optimiser les critères de qualité,

– calcul de la prédiction du ratio Signal/Bruit résultant,

s’effectuent également exactement dans les mêmes conditions.

Le logiciel KitTag est conçu pour construire et dépouiller les plans produits.

Stratégie du choix des facteurs bruits

Avec un grand nombre de facteurs bruits, une expérimentation peut devenir très onéreuse. Toutefois, si l’on choisit soigneusement les facteurs bruits, on peut rester dans des limites raisonnables :

– Il est possible de combiner les conditions extrêmes de bruits (les pires possibles par rapport aux meilleurs possibles), pour se limiter à 2 ou 3 niveaux de facteurs bruits « composites ».

– Il faut ne retenir que les bruits les plus importants.

L’expérience montre que si la conception d’un produit ou d’un processus est robuste par rapport à un bruit important, il y a beaucoup de chances pour qu’elle le soit également par rapport aux autres.

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