Étiquette : analyse

Le plan d’expériences : un outil méconnu

L’outil plan d’expériences est souvent considéré comme la phase ultime d’une démarche (boîte à outils du 6 sigmas) alors que que c’est au contraire un formidable outil de débroussaillage d’un problème.

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Autres formations que plan d’expériences

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Tous les outils de la résolution de problèmes sont des outils à utiliser de façon préliminaire aux plans d’expériences. Nous les avons regroupés dans un module « Outils de la Qualité » de 8 à 12 heures dont vous trouverez la

fiche pédagogique ci-jointe.

La partie pratique de la résolution de problème se fait en équipes autour d’un jeu de rôle avec utilisation progressive des outils : COQ, QQOQCPC, Pareto, brainstorming, diagramme causes-effets ou 5M, arbre des causes, 5 pourquoi, plan d’actions, 5 S.

La partie AMDEC de ce module est optionnelle.

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La Maîtrise Statistique du Procédé (MSP ou Statistical Process Control en anglais) est un module de 8 heures, connexe à celui des plans d’expériences (voir ma vision des plans d’expériences), dont vous trouverez la fiche pédagogique ci-jointe.

La partie pratique de la mise en place de la MSP se fait en équipes autour d’un mini process avec utilisation progressive des outils puis exercices sur des cartes de contrôle. Un approfondissement de 4 heures, sur les différents types de cartes de contrôle est possible.

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Les processus et leur construction constituent un module de 4 heures, que l’on peut décliner en 4 heures, sur une application pratique sur un processus quelconque ou sur un procédé de façon à établir un « process maping », vous trouverez la fiche pédagogique ci-jointe.

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De manière plus générale un module de 4 heures, sur l’histoire de la qualité permet de situer la naissance des principaux outils et la raison de leur apparition. L’évolution de la qualité jusqu’à la version la plus récente de la norme ISO 9000, explique les dérives les plus fréquentes ainsi que les conséquences pour l’entreprise. Un exemple d’entreprise performante permet de visualiser les différents concepts exposés.

Pour toute autre formation dans le domaine de la qualité et du lean-manufacturing, nous pouvons seuls ou en appui sur un de nos partenaires dispenser des formations par le jeu déjà existantes ou les concevoir.

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Plans de mélange

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Plans de mélange

Les propriétés (Yi) d’un mélange (par exemple pour une peinture : la viscosité, le temps de séchage, …) dépendent de sa composition (de ses k composants).

Le but d’un plan de mélanges est de traduire fidèlement les variations de chaque propriété Yi par une relation Yi = f(xk) en fonction des xk (proportions des k composants).

Les modes classiques de construction de plan de mélanges sont complexes car ils utilisent les plans optimaux (voir cours sur la construction classique d’un plan de mélanges).

Nous vous proposons une méthode beaucoup plus simple qui :

  • ne nécessitera aucun logiciel spécifique compliqué,
  • utilisera des matrices orthogonales et donc permettra de minimiser la dispersion des caractéristiques des mélanges obtenus,
  • permettra de tester également l’influence de facteurs de process.

La construction se fera en 5 étapes :

Étape 1

Les ingénieurs et techniciens déterminent dans un premier temps et a priori les valeurs minimales (Li) et maximales (Ls) souhaitables de concentration pour chaque composant.

De manière classique on doit vérifier la compatibilité des limites de plage de concentration de chaque composant (xi), car en plus des conditions initiales : Lii ≤ xi ≤ Lsi, il est nécessaire de vérifier que :

  • la somme des limites inférieures Σ Lii = L < 1 et si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ 1 – L alors une correction sera nécessaire sur sa limite supérieure Lsi

  • la somme des limites i supérieures Σ Lsi = U > 1 t si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ U – 1 alors une correction sera nécessaire sur sa limite inférieure Lii

    Nous obtenons ainsi des limites initiales de concentration pour chaque composant.

    Étape 2

Choisir un modèle mathématique de représentation pour chaque propriété :

  • Il faut prendre un modèle du 1er degré quand on ne soupçonne aucune interaction de l’effet de la concentration de chaque composant sur chacun des autres composants (rare).
  • Il faut prendre un modèle du 2ème degré quand :
    • on soupçonne la présence d’interactions de tout ou partie des composants sur chacun des autres composants,
    • la validité d’un modèle du 1er degré n’est pas établie.

L’utilisation de modèles du 3ème degré est illusoire (interaction de niveau 2) car les interactions sont souvent plus faibles que la précision de mesure des caractéristiques du produit.

Si k est le nombre de composants on aura C (nombre de coefficients ai du modèle mathématique) :

Modèle du 1er degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk donc on a C = k

Modèle du 2ème degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk + Σ(i > j) aij xi xj donc on a C = k + k (k-1) / 2

Si on se limite à 8 composants on devra donc déterminer le nombre de coefficients conformément au tableau ci dessous :

Nb de composants

Nb coef (1er degré)

Nb coef (2ème degré)

3

3

6

4

4

10

5

5

15

6

6

21

7

7

28

8

8

36

Étape 3

Choisir une matrice orthogonale ayant un nombre d’essais ≥ nombre de coefficients à déterminer :

Pour un modèle quadratique (2ème degré) voici les matrices orthogonales proposées :

Nb de coefficients

Matrice

n facteurs à p niveaux

6

L8 – 8 essais ou L9 – 9 essais

1 à 4 + 2 à 2 ou 3 à 3

10

L16 – 16 essais

4 à 4

15

L16 – 16 essais

5 à 4

21

L25 – 25 essais

6 à 5

28

L32 – 32 essais

7 à 4

36

L36 – 36 essais

8 à 3

Le nombre d’essais supplémentaires (imposés par les matrices) par rapport au strict nécessaire est faible (de 0 à 6).

Étape 4

Construire la matrice à l’aide des facteurs :

  • Ranger les composants en ordre décroissant de plage de concentration (composant A, composant B, …),

  • Le composant A ne fera pas partie de la matrice,

  • Positionner les autres composants dans les colonnes des matrices proposées (il se peut qu’il y ait trop de colonnes qui seront alors inutilisées).

Les composants (B, C, …) varieront donc sur 2 à 5 niveaux selon le choix de la matrice.

Avantages :

Les essais définis par la matrice :

  • ne sont pas uniquement des sommets, des centres d’arêtes ou de faces c’est-à-dire sur la périphérie du domaine comme dans la démarche classique,

  • explorent aussi l’intérieur du domaine.

Si une matrice orthogonale facilite le dépouillement, elle impose en contre partie une combinatoire de niveaux fixes pour chacun des composants.

Il faut ensuite calculer pour chaque essai la concentration résultante de A (issue des niveaux de concentration pour chacun des autres composants) qui peut soit être :

  • inférieure à son niveau mini : il y aura des corrections à réaliser,

  • supérieure à son niveau maxi : il y aura des corrections à réaliser,

  • comprise entre ses niveaux mini et maxi : donc pas de correction.

Étape 5

Réduire les plages possibles des concentrations des n-1 composants (présents dans la matrice) pour que la concentration résultante du composant A soit comprise entre ses niveaux mini et maxi pour chaque essai.

Principe de rectification des niveaux maxi :

  • Prendre la correction < 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau mini,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau maxi de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections < 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau mini de concentration du composant A.

Principe de rectification des niveaux mini :

  • Prendre la correction > 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau maxi,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau mini de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections > 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau maxi de concentration du composant A.

Voir exemple ci-dessous une fois les rectifications faites :

Bilan de la construction du plan de mélange

A l’aide d’une feuille de calcul Excel spécialement conçue, la détermination des niveaux mini et maxi pour chaque composant, est très rapide (< 1 minute) : e classeur Excel de construction proposé est mis à disposition pour toute demande faite par mail.

Le domaine résultant est inscrit dans le domaine initial :

  • les plages de concentration de chaque composant sont inférieures aux plages initiales,

  • les valeurs fixes de chacun des niveaux satisfont au critère d’orthogonalité imposé pour la matrice.

Avantage : Pas de tri des points candidats pour définir les essais avec des algorithmes mathématiques complexes (comme dans la méthode classique).

Inconvénient : Réduction de la plage de concentration pour chaque composant.

Exploitation du plan de mélanges

Après réalisation des mesures des différentes caractéristiques pour chaque essai :

1ère façon (classique) :

  • Résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C),

  • En déduire le polynôme de modélisation pour chaque propriété définie à optimiser,

  • Calculer (maximum ou valeur cible) et en déduire la combinaison ou le domaine de combinaisons de concentration pour tous les composants.

2ème façon (proposée) :

  • Déterminer l’effet de la concentration pour chaque niveau de chaque composant,

  • Rechercher la combinaison des niveaux de concentration des composants optimisant conjointement les propriétés du mélange (sous l’angle de la dispersion en mesurant les propriétés sur plusieurs réalisations d’un même mélange (moyenne et écart type),

  • Il est toujours possible de résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C).

Validation du modèle

Réaliser physiquement le mélange avec la combinaison théoriquement optimisée des niveaux des concentrations des composants.

Vérifier les concordances entre les prévisions données par chacun des modèles pour chacune des propriétés et les valeurs réelles des propriétés mesurées.

Si cette concordance n’existe pas le modèle n’est pas validé.

Passage d’un modèle du 1er degré à un modèle du 2ème degré.

Autres intérêts des matrices orthogonales

Influence du processus de réalisation du mélange :

Les matrices proposées ont souvent une ou plusieurs colonnes disponibles par rapport au nombre de composants testés.

Il est intéressant de les utiliser pour tester l’influence des paramètres de processus de réalisation du mélange (par exemple : ordre d’introduction, temps de mélangeage, température, …) sur les propriétés du mélange, sans augmenter le nombre d’essais.

Plans dynamiques

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Plans dynamiques

Le domaine traditionnel d’utilisation des plans d’expériences concerne des produits ou des processus dans lesquels les caractéristiques fonctionnelles ou dimensionnelles à optimiser doivent respecter des valeurs bien spécifiées. Ces produits ou processus, que nous allons désigner sous le terme générique de « systèmes », peuvent être qualifiés de statiques, pour signifier la permanence (ou stabilité) des valeurs que leurs caractéristiques doivent respecter.

Quand la réponse du système dépend de la valeur d’un paramètre d’entrée agissant sur ce système, celui-ci doit être considéré comme un système dynamique.

Un appareil de mesure est l’exemple type de système dynamique : la réponse de l’appareil, c’est-à-dire la valeur qu’il indique, est fonction de la valeur mesurée.

Le schéma ci-dessous le paramètre d’entrée agissant sur le système, appelé « Facteur signal » est symbolisé par « Fs », et la valeur de la réponse, par « y ».

La relation existant entre les valeurs de Fs et y s’écrit : y = f(Fs) (lire : y est fonction de Fs)

Cette relation synthétise la fonction intrinsèque du système.

Il existe une relation idéale, en principe bien définie par les concepteurs du système, entre les valeurs du facteur signal Fs et de la réponse y. Toutefois, dans la réalité, divers autres facteurs maîtrisables, agissant également sur le système, peuvent influer qualitativement et quantitativement sur cette relation.

De plus, des facteurs parasites, peu ou non maîtrisables, peuvent la perturber de façon sporadique ou intempestive.

Pour améliorer la performance d’un tel système, il faut :

– se rapprocher le plus possible de la relation idéale devant exister entre le signal d’entrée et la réponse de sortie (c’est-à-dire minimiser les distorsions éventuelles existant entre la relation réelle et la relation théorique idéale),

– améliorer la fiabilité de cette relation (c’est-à-dire minimiser la variabilité due aux facteurs bruits non maîtrisables),

– obtenir une sensibilité suffisante de cette relation (c’est-à-dire que le système réponde de façon significative à une très faible modification de la valeur du facteur signal).

Champ d’application des systèmes dynamiques

Les systèmes dynamiques sont essentiellement répartis en deux catégories :

• Systèmes passifs de mesure, de toutes natures (jauges de contrainte, balances, voltmètres, pyromètres, manomètres, chromatographes, …), pour l’optimisation des caractéristiques :

– Justesse (ce qui signifie que la réponse est toujours proportionnelle au signal d’entrée et que le système est facilement étalonnable), à l’intérieur d’une plage de mesures bien définie.

– Sensibilité maximale.

– Fidélité (répétitivité du résultat pour une même valeur mesurée).

• Systèmes automatiques d’asservissement, de régulation (thermostats, transmissions automatiques, boucles de correction de réglage de machines-outils, …), pour l’optimisation des caractéristiques :

– Justesse (respect de la fonction prévue pour l’automatisme).

– Fidélité (répétitivité de l’action pour une même valeur du facteur signal).

Nota : D’autres types de systèmes dynamiques non évoqués ici, sont présentés dans le livre « Pratique industrielle des plans d’expériences » au chapitre 6.

Mesure de la performance d’un système dynamique

Pour les systèmes statiques la performance optimale est obtenue, pour chacune des caractéristiques à optimiser, quand on maximise leur ratio Signal/Bruit (cf. F – Un indicateur de performance : le ratio Signal sur Bruit).

Pour les systèmes dynamiques, la philosophie d’un indicateur synthétique de mesure de la performance reste la même, mais sa définition diffère quelque peu. Cet indicateur doit prendre simultanément en compte :

– les écarts, à combattre, entre la relation idéale souhaitée y = f (Fs) et la relation réelle constatée,

– la variabilité, également à combattre, de la réponse du système due à l’influence des facteurs peu ou non maîtrisables qui l’environnent,

– la sensibilité du système, c’est-à-dire sa capacité de répondre de façon perceptible à une très faible variation de la valeur du signal d’entrée : elle est à maximiser.

En regroupant les deux types d’écarts ci-dessus sous le terme générique de variance du système, il est évident que la performance d’un système dynamique sera d’autant plus grande que le rapport :

sera plus grand.

D’autre part, en plus de la caractéristique dynamique d’un système, il arrive fréquemment que l’on veuille optimiser solidairement d’autres caractéristiques de nature statique, telles que : planéité d’une face, niveau sonore à minimiser, etc.… Pour faciliter la recherche du meilleur compromis final d’optimisation de l’ensemble des caractéristiques dynamiques et statiques, il est nécessaire que les formules des ratios Signal/Bruit dynamiques respectent également les règles suivantes :

– L’unité de valorisation doit être identique à celle déjà utilisée pour les ratios Signal/Bruit des caractéristiques statiques (cf. F – Un indicateur de performance : le ratio Signal sur Bruit).

– Pour faciliter son interprétation, il est nécessaire que la maximisation de la valeur algébrique du ratio Signal/Bruit corresponde toujours à la maximisation de la performance du système.

Les relations relatives aux caractéristiques dynamiques se répartissent en trois catégories :

• Relations continues de forme linéaire.

Leur équation est y = AFs + B, où :

A = le coefficient angulaire (ou pente) de la droite,

B = une constante, correspondant à la valeur de y quand Fs = 0 (zéro)

• Relations continues de forme non linéaire.

Leur forme, imposée par les concepteurs du système, peut être quelconque, par exemple la forme quadratique pour la relation : y = f Fs2 + B) .

• Relations discontinues de forme binaire.

Dans ce type de système, lorsque la valeur du facteur signal atteint une valeur cible fixée, la valeur de la réponse doit basculer instantanément de l’une à l’autre des 2 positions, par exemple : « 0 » (zéro) et « 1 » (ou « marche » et « arrêt ») pour le thermostat d’un four.

Il est alors exclu d’analyser son évolution entre ces deux valeurs. Cette impossibilité fait perdre beaucoup d’informations utiles quand on veut déterminer les effets des facteurs qui agissent sur ce type de systèmes.

Cette valeur cible pouvant être quelconque à l’intérieur de la zone d’utilisation du système, il est nécessaire de tester plusieurs valeurs cibles. Pour cela on utilise un facteur signal comprenant deux composantes :

– sa valeur cible (ou valeur de référence)

– deux autres valeurs, situées de part et d’autre de cette valeur cible, servant à tester réellement le système

Par exemple, un thermostat doit fonctionner dans une plage de 100° à 400°.

Quand la température réelle est inférieure à celle demandée sa réponse doit être « 0 », et « 1 » quand elle est égale ou supérieure.

Dans l’expérimentation réalisée pour optimiser son fonctionnement, on décide de le tester aux 4 valeurs cibles : 100°, 200°, 300° et 400°. Pour chacune d’elles, on soumet le thermostat à des températures réelles, soigneusement contrôlées, de + 2° et – 2° par rapport à la valeur cible.

On répète 4 fois le test (par exemple un test toutes les deux heures) afin de prendre en compte l’influence des facteurs bruits qui environnent le thermostat.

Les résultats obtenus sont récapitulés :

Pour chacune des 4 valeurs cibles du facteur signal, on a un couple de réponses idéales et réelles. Dans chacun de ces couples, l’exploitation des résultats devient justiciable d’un système de relations continues de forme non linéaire.

Nota :

Les calculs des moyennes seront normalement effectués à partir des « Réponses de sortie ».

Par exemple : Pour Fs11 : la moyenne des 4 réponses 1, 0, 1, 1 est : 0,75.

Elle n’a évidemment pas de signification physique, puisque les réponses ne peuvent prendre que les valeurs « 0 » ou « 1 ». Elle n’a qu’une utilisation statistique pour le calcul des écarts.

Consulter le chapitre : F – Un indicateur de performance : le ratio Signal sur Bruit

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