Auteur/autrice : phalexis

Le plan d’expériences : un outil méconnu

L’outil plan d’expériences est souvent considéré comme la phase ultime d’une démarche (boîte à outils du 6 sigmas) alors que que c’est au contraire un formidable outil de débroussaillage d’un problème.

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Autres formations que plan d’expériences

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Tous les outils de la résolution de problèmes sont des outils à utiliser de façon préliminaire aux plans d’expériences. Nous les avons regroupés dans un module « Outils de la Qualité » de 8 à 12 heures dont vous trouverez la

fiche pédagogique ci-jointe.

La partie pratique de la résolution de problème se fait en équipes autour d’un jeu de rôle avec utilisation progressive des outils : COQ, QQOQCPC, Pareto, brainstorming, diagramme causes-effets ou 5M, arbre des causes, 5 pourquoi, plan d’actions, 5 S.

La partie AMDEC de ce module est optionnelle.

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La Maîtrise Statistique du Procédé (MSP ou Statistical Process Control en anglais) est un module de 8 heures, connexe à celui des plans d’expériences (voir ma vision des plans d’expériences), dont vous trouverez la fiche pédagogique ci-jointe.

La partie pratique de la mise en place de la MSP se fait en équipes autour d’un mini process avec utilisation progressive des outils puis exercices sur des cartes de contrôle. Un approfondissement de 4 heures, sur les différents types de cartes de contrôle est possible.

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Les processus et leur construction constituent un module de 4 heures, que l’on peut décliner en 4 heures, sur une application pratique sur un processus quelconque ou sur un procédé de façon à établir un « process maping », vous trouverez la fiche pédagogique ci-jointe.

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De manière plus générale un module de 4 heures, sur l’histoire de la qualité permet de situer la naissance des principaux outils et la raison de leur apparition. L’évolution de la qualité jusqu’à la version la plus récente de la norme ISO 9000, explique les dérives les plus fréquentes ainsi que les conséquences pour l’entreprise. Un exemple d’entreprise performante permet de visualiser les différents concepts exposés.

Pour toute autre formation dans le domaine de la qualité et du lean-manufacturing, nous pouvons seuls ou en appui sur un de nos partenaires dispenser des formations par le jeu déjà existantes ou les concevoir.

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Autres types de plans

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Pour être exhaustif beaucoup d’autres types de plans existent :

– Plans en carré gréco-latin (Sir Ronald Aylmer Fischer);

– Plans de Plackett et Burman;

– Plans de Rechtschaffner;

– Méthode du simplexe;

– Plans composite centré (Box et Wilson);

– Réseaux uniformes de Doehlert;

– Plans optimaux.

Nous nous attacherons à commenter en quoi ces différents plans sont adaptés ou non à la résolution par des non spécialistes de problèmes liés à la dispersion des caractéristiques à optimiser.

L’ensemble des informations qui suivent proviennent de l’excellent panorama réalisé entre 1996 et 2005 par l’association Expérimentique : « Les Plans d’expériences » sous la coordination de François Louvet et Luc Delplanque paru en oct 2005.

Ces plans ont été créés selon les lois d’évolution suivantes :

Si nous avons déjà décrit la notion d’orthogonalité, la notion d’optimalité peut se traduire par l’obtention d’une matrice d’expérimentation à la carte (en laissant la possibilité d’affecter à chaque facteur un nombre spécifique de niveaux et ne prenant en compte éventuellement qu’une partie des interactions) : cette sophistication est hors de portée de la plupart des expérimentateurs. De plus les plans non orthogonaux ne sont pas adaptés à la recherche d’une solution dont on cherche prioritairement à optimiser la dispersion.

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Plans en carré gréco-latin et hyper gréco-latin :

ont été appliqués à l’agronomie dès 1924.

Principe de construction :

se traduisent par les matrices particulières (intégrés par Taguchi) :

– L9 (4 facteurs à 3 niveaux),

– L16 (5 facteurs à 4 niveaux),

– L25 (6 facteurs à 5 niveaux).

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Plans de Plackett et Burman :

destinés à l’étude des effets moyens d’un grand nombre de facteurs à 2 niveaux (plan de criblage) ont été définis dès 1946.

Principe de construction :

Ces plans se traduisent par les matrices (intégrés ou non par Taguchi) :

– L4 ( 3 facteurs à 2 niveaux)

– L8 ( 7 facteurs à 2 niveaux)

– L12 (11 facteurs à 2 niveaux)

– L16 (15 facteurs à 2 niveaux)

– L20 (19 facteurs à 2 niveaux) : non proposée par G. Taguchi

– L24 (23 facteurs à 2 niveaux) : non proposée par G. Taguchi

– L32 (31 facteurs à 2 niveaux)

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Plans de Rechtschaffner :

destinés à l’étude de facteurs à 2 niveaux et de leurs interactions de niveau 1 ont été définis dès 1967.

Voici 4 exemples de matrices :

à comparer avec les L8 (k=3) et L16 (k=4 et 5) : l’économie d’essais est faible ou nulle !

Il est très rare que l’ensemble des facteurs considérés soient chacun en interaction avec tous les autres, en général quelques essais permettent d’isoler les quelques facteurs en interaction.

Taguchi a proposé une matrice L16 pour l’étude de 5 facteurs à 2 niveaux et de leurs 10 interactions de niveau 1.

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Méthode du simplexe :

Méthodologie développée dès 1960 consistant à ne faire varier qu’un facteur à la fois tout en ne dépendant pas du choix du réglage initial de chaque facteur.

Principe de construction :

Illustration avec 2 facteurs U1 et U2 dont le réglage initial commun est 5, puis on réalise U1=15 et U2=5, puis U1=5 et U2=15, on classe ces 3 essais en ordre décroissant de performance (B)est, (N)ext to the worst et (W)orst; (W) sera éliminé et l’on construira (R)eflect comme le symétrique de (W) par rapport aux 2 autres essais; l’essai R sera fait avec U1=15 et U2=15. On compare ces 3 points et ainsi de suite.

La convergence vers un point optimum est d’autant plus longue que que le simplexe initial est éloigné de l’optimum et que le pas de variation des facteurs est petit. D’où introduction à partir de 1965 du simplexe à pas variable. N’est applicable que sur un petit nombre de facteurs et si l’on ne cherche qu’à optimiser une seule caractéristique à la fois !

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Plans composites centrés :

Ces plans sont principalement utilisés pour l’obtention de surfaces de réponses (modèles de comportement d’un produit (polynomiaux du 2nd degré) utilisant un petit nombre de points représentant au mieux la totalité de l’espace étudié) lesquelles permettent la localisation rapide d’un optimum. Ceux de Box et Wilson consistent à rajouter des points en étoile par rapport à un plan factoriel complet en plus de n0 répétitions effectuées au point central.

2 postulats (l’isovariance par rotation et la précision uniforme) sont à la base de leur interprétation. Or ces postulats sont souvent mis à mal par les faits expérimentaux !

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Réseaux uniformes de Doehlert :

C’est une autre forme de plans composites centrés où les points d’essai sont tous à équidistance d’un point central (point de fonctionnement connu) et leur nombre est égal à :

k étant le nombre de facteurs et n0 le nombre de répétitions effectuées au point central

On remarquera que la construction des points se fait à partir d’un simplexe.

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Plans optimaux :

le nombre d’essai minimal (P) est donné par la formule suivante :

mi étant le nombre de niveaux pour chacun des k facteurs

Le nombre d’essais retenu sera déterminé par calcul et sera évidement supérieur au nombre ci-dessus. Le calcul ultérieur sert à déterminer quels sont les N essais pris parmi la totalité qui fourniront l’information optimale (quantité d’information, variance, covariance) en utilisant un algorithme d’échange entre les essais.

La matrice aura autant de lignes (N) que d’essais et autant de colonnes que le nombre P, le produit de la transposée de cette matrice par cette même matrice nous donnera la matrice d’information. C’est sur cette matrice d’information que seront effectué les calculs. On utilise l’algorithme d’échange et on regarde si les indicateurs d’optimalité progressent, on s’arrête lorsqu’on obtient un optimum. On rajoute ensuite progressivement un essai (donc la matrice grossit), et on regarde si les indicateurs d’optimalité progressent encore. Le résultat est un compromis entre un nombre d’essais (supérieur à P) et l’optimalité de l’information obtenue.

Cette complexité de construction est complétée par celle de l’interprétation : même si on réalise une économie d’essais, celle-ci est-elle contre balancée par la fiabilité de l’interprétation d’une expérimentation orthogonale ? Notre avis est négatif.

Ces plans sont utilisés par certains logiciels : voir article sur autres logiciels.

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Plans de mélange

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Plans de mélange

Les propriétés (Yi) d’un mélange (par exemple pour une peinture : la viscosité, le temps de séchage, …) dépendent de sa composition (de ses k composants).

Le but d’un plan de mélanges est de traduire fidèlement les variations de chaque propriété Yi par une relation Yi = f(xk) en fonction des xk (proportions des k composants).

Les modes classiques de construction de plan de mélanges sont complexes car ils utilisent les plans optimaux (voir cours sur la construction classique d’un plan de mélanges).

Nous vous proposons une méthode beaucoup plus simple qui :

  • ne nécessitera aucun logiciel spécifique compliqué,
  • utilisera des matrices orthogonales et donc permettra de minimiser la dispersion des caractéristiques des mélanges obtenus,
  • permettra de tester également l’influence de facteurs de process.

La construction se fera en 5 étapes :

Étape 1

Les ingénieurs et techniciens déterminent dans un premier temps et a priori les valeurs minimales (Li) et maximales (Ls) souhaitables de concentration pour chaque composant.

De manière classique on doit vérifier la compatibilité des limites de plage de concentration de chaque composant (xi), car en plus des conditions initiales : Lii ≤ xi ≤ Lsi, il est nécessaire de vérifier que :

  • la somme des limites inférieures Σ Lii = L < 1 et si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ 1 – L alors une correction sera nécessaire sur sa limite supérieure Lsi

  • la somme des limites i supérieures Σ Lsi = U > 1 t si le domaine de concentration (di) de chaque composant ne répond pas la condition di ≤ U – 1 alors une correction sera nécessaire sur sa limite inférieure Lii

    Nous obtenons ainsi des limites initiales de concentration pour chaque composant.

    Étape 2

Choisir un modèle mathématique de représentation pour chaque propriété :

  • Il faut prendre un modèle du 1er degré quand on ne soupçonne aucune interaction de l’effet de la concentration de chaque composant sur chacun des autres composants (rare).
  • Il faut prendre un modèle du 2ème degré quand :
    • on soupçonne la présence d’interactions de tout ou partie des composants sur chacun des autres composants,
    • la validité d’un modèle du 1er degré n’est pas établie.

L’utilisation de modèles du 3ème degré est illusoire (interaction de niveau 2) car les interactions sont souvent plus faibles que la précision de mesure des caractéristiques du produit.

Si k est le nombre de composants on aura C (nombre de coefficients ai du modèle mathématique) :

Modèle du 1er degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk donc on a C = k

Modèle du 2ème degré : Y = a1 x1 + a2 x2 + … + ak xk + Σ(i > j) aij xi xj donc on a C = k + k (k-1) / 2

Si on se limite à 8 composants on devra donc déterminer le nombre de coefficients conformément au tableau ci dessous :

Nb de composants

Nb coef (1er degré)

Nb coef (2ème degré)

3

3

6

4

4

10

5

5

15

6

6

21

7

7

28

8

8

36

Étape 3

Choisir une matrice orthogonale ayant un nombre d’essais ≥ nombre de coefficients à déterminer :

Pour un modèle quadratique (2ème degré) voici les matrices orthogonales proposées :

Nb de coefficients

Matrice

n facteurs à p niveaux

6

L8 – 8 essais ou L9 – 9 essais

1 à 4 + 2 à 2 ou 3 à 3

10

L16 – 16 essais

4 à 4

15

L16 – 16 essais

5 à 4

21

L25 – 25 essais

6 à 5

28

L32 – 32 essais

7 à 4

36

L36 – 36 essais

8 à 3

Le nombre d’essais supplémentaires (imposés par les matrices) par rapport au strict nécessaire est faible (de 0 à 6).

Étape 4

Construire la matrice à l’aide des facteurs :

  • Ranger les composants en ordre décroissant de plage de concentration (composant A, composant B, …),

  • Le composant A ne fera pas partie de la matrice,

  • Positionner les autres composants dans les colonnes des matrices proposées (il se peut qu’il y ait trop de colonnes qui seront alors inutilisées).

Les composants (B, C, …) varieront donc sur 2 à 5 niveaux selon le choix de la matrice.

Avantages :

Les essais définis par la matrice :

  • ne sont pas uniquement des sommets, des centres d’arêtes ou de faces c’est-à-dire sur la périphérie du domaine comme dans la démarche classique,

  • explorent aussi l’intérieur du domaine.

Si une matrice orthogonale facilite le dépouillement, elle impose en contre partie une combinatoire de niveaux fixes pour chacun des composants.

Il faut ensuite calculer pour chaque essai la concentration résultante de A (issue des niveaux de concentration pour chacun des autres composants) qui peut soit être :

  • inférieure à son niveau mini : il y aura des corrections à réaliser,

  • supérieure à son niveau maxi : il y aura des corrections à réaliser,

  • comprise entre ses niveaux mini et maxi : donc pas de correction.

Étape 5

Réduire les plages possibles des concentrations des n-1 composants (présents dans la matrice) pour que la concentration résultante du composant A soit comprise entre ses niveaux mini et maxi pour chaque essai.

Principe de rectification des niveaux maxi :

  • Prendre la correction < 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau mini,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau maxi de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections < 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau mini de concentration du composant A.

Principe de rectification des niveaux mini :

  • Prendre la correction > 0 résultante du composant A la plus forte,

  • Répartir cette correction sur les composants qui ne sont pas à leur niveau maxi,

  • Répartir cette correction proportionnellement à leur valeur de plage de concentration,

  • Appliquer les corrections sur le niveau mini de chaque composant concerné.

Une fois la 1ère correction faite on regarde s’il y a encore des corrections > 0 à faire : il sera peut-être nécessaire de réitérer ce processus pour respecter le niveau maxi de concentration du composant A.

Voir exemple ci-dessous une fois les rectifications faites :

Bilan de la construction du plan de mélange

A l’aide d’une feuille de calcul Excel spécialement conçue, la détermination des niveaux mini et maxi pour chaque composant, est très rapide (< 1 minute) : e classeur Excel de construction proposé est mis à disposition pour toute demande faite par mail.

Le domaine résultant est inscrit dans le domaine initial :

  • les plages de concentration de chaque composant sont inférieures aux plages initiales,

  • les valeurs fixes de chacun des niveaux satisfont au critère d’orthogonalité imposé pour la matrice.

Avantage : Pas de tri des points candidats pour définir les essais avec des algorithmes mathématiques complexes (comme dans la méthode classique).

Inconvénient : Réduction de la plage de concentration pour chaque composant.

Exploitation du plan de mélanges

Après réalisation des mesures des différentes caractéristiques pour chaque essai :

1ère façon (classique) :

  • Résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C),

  • En déduire le polynôme de modélisation pour chaque propriété définie à optimiser,

  • Calculer (maximum ou valeur cible) et en déduire la combinaison ou le domaine de combinaisons de concentration pour tous les composants.

2ème façon (proposée) :

  • Déterminer l’effet de la concentration pour chaque niveau de chaque composant,

  • Rechercher la combinaison des niveaux de concentration des composants optimisant conjointement les propriétés du mélange (sous l’angle de la dispersion en mesurant les propriétés sur plusieurs réalisations d’un même mélange (moyenne et écart type),

  • Il est toujours possible de résoudre le système de P équations (les P essais du plan) à C inconnues (C coefficients du modèle avec P ≥ C).

Validation du modèle

Réaliser physiquement le mélange avec la combinaison théoriquement optimisée des niveaux des concentrations des composants.

Vérifier les concordances entre les prévisions données par chacun des modèles pour chacune des propriétés et les valeurs réelles des propriétés mesurées.

Si cette concordance n’existe pas le modèle n’est pas validé.

Passage d’un modèle du 1er degré à un modèle du 2ème degré.

Autres intérêts des matrices orthogonales

Influence du processus de réalisation du mélange :

Les matrices proposées ont souvent une ou plusieurs colonnes disponibles par rapport au nombre de composants testés.

Il est intéressant de les utiliser pour tester l’influence des paramètres de processus de réalisation du mélange (par exemple : ordre d’introduction, temps de mélangeage, température, …) sur les propriétés du mélange, sans augmenter le nombre d’essais.